class 10th maths ncert solutions

 Class 10th Maths NCERT Solutions With Pdf 

यहां पर Class 10th के लिए Math's Subject का Topic Wise Theory Explanation दिया गया है जिसमें पूरे विस्तार से जानकारी को बताया गया है अगर आप कहीं भी ऑफलाइन Study नहीं करते हैं तो भी आप यहां से बेहतर तरीके से तैयारी कर सकते हैं इस पेज पर आपको ऑनलाइन अध्ययन के साथ Theory Explanation और फ्री Pdf Provide कराया जाता हैं 


Class 10th Chapter 1 math's book का सॉल्यूशन दिया गया है 

पहला Parts में हम आपको Exersise 1.1 को Discourse करेंगे ताकि आपको बहुत ही आसानी से समझ आ सके 

पहला चैप्टर हैं :- वास्तविक संख्याएं 

Class 10th गणित 

Exersise 1.1 

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए: 

(1) 135 और 225 

(ii) 196 और 38220 

(iii) 867 और 255 

उत्तर 1: (i) 135 और 225 क्योंकि 225 > 135, 

225 = 135 × 1 + 90, R ≠ 0

135 = 90 × 1 + 45, R ≠ 0

90 = 45 × 2 + 0, R = 0

HCF = 45 

Explain:- 👇

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 225 और 135 में करने पर, 

हमें प्राप्त होता है 225 = 135 x 1 + 90 क्योंकि शेष 90 ≠ 0, यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 135 और 90 में करने पर, 

हमें प्राप्त होता है 135 = 90 x 1 + 45 अब हमारे पास नया भाजक 90 और शेष 45, यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग इस में करने पर, 

हमें प्राप्त होता है 90 = 2 x 45 +0 क्योंकि शेष शून्य है, इस प्रक्रिया को यहीं रोक देते हैं,  इसलिए, 135 और 225 का HCF 45 है क्योंकि इस समय भाजक 45 है, 


(ii) 196 और 38220 क्योंकि 38220 > 196, 

38220 = 196 × 195, R = 0 

HCF = 196 

Explain:- 👇

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 38220 और 196 में करने पर, 

हमें प्राप्त होता है 38220196 x 195 + 0 क्योंकि शेष शून्य है, 

इस प्रक्रिया को यहीं रोक देते हैं क्योंकि इस समय भाजक 196 है, इसलिए, 196 और 38220 का HCF 196 है 


(iii) 867 और 255 क्योंकि 867 > 255, 

867 = 255 × 3 + 102, R ≠ 0

255 = 102 × 2 + 51, R ≠ 0

102 = 51 × 2, R = 0 

HCF = 51 

Explain 👇

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 867 और 255 में करने पर, 

हमें प्राप्त होता है 867 = 255 x 3 + 102

क्योंकि शेष 102 0, यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग 255 और 102 में करने पर, 

हमें प्राप्त होता है 255102 x 2 +51 अब हमारे पास नया भाजक 102 और शेष 51, 

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग इस में करने पर, हमें प्राप्त होता है 10251x2+0 क्योंकि  शेष शून्य है, 

इस प्रक्रिया को यहीं रोक देते हैं क्योंकि इस समय भाजक 51 है, इसलिए, 867 और 255 का HCF 51 है। 


प्रश्न 2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 69 1 या 6q + 3 पा 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ १ कोई पूर्णांक है। 

उत्तर 2: माना कोई धनात्मक पूर्णांक a है और b = 61 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से, a 6q+r जहाँ q≥ 0, और 0, 1, 2, 3, 4, 5 क्योंकि 0 ≤ r < 61 इसलिए, a = 69 या 69 + 1 या 6q + 2 या 69 + 3 या 69 + 4 या 69 + 51 अब. 6q+12x3q+1 = 2k1 + 1, 

जहाँ : एक पूर्णांक है 69+3=(69+2)+1=2 (30+1)+ 1 = 2k2 + 1, जहाँ k2 एक पूर्णांक है। 69+5(69+4) +12 (30+2)+1= 2k3 + 1, 

जहाँ k3 एक पूर्णांक है। इसप्रकार, 69 + 1, 69 +3, 69 + 5 सभी 2k+1 के रूप में हैं, जहाँ एक पूर्णांक है। इसलिए, 6q + 1, 69 + 3, 69+ 5 सभी 2 से विभाजित नहीं हैं। इस प्रकार, ये सभी विषम पूर्णांक है और इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है। 


प्रश्न 3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है. दोनों समूहों को सामान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है. उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमे वे मार्च कर सकते हैं?

उत्तर :- 616>32 

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करने पर 

616 = 32 × 19 + 8 , R ≠ 0

32 = 8 × 4 , R = 0

अतः 8 स्तंभ को मार्च कर सकते हैं 


प्रश्न 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है। [संकेतः यह मन लीजिए कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।] 

उत्तर : माना कोई धनात्मक पूर्णांक a है और D = 31 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से a 3q + जहाँ १≥ 0 और= 0, 1, 2

 क्योंकि 0≤r<3 इसलिए, a = 3g या 39 + 1 या 3q + 2 a² = (39) या (39 + 1)² या (39+2)2 = (39) या 9q² + 6q+1 या 9q+12+4 = 3 x (39) या 3 × (3q²+2q) + 1 या 3x (3q²+4q+1)+1 = 3k₁ या 3k2 + 1 या 3kg + 1 जहाँ k1, k2, और k3 धनात्मक पूर्णांक हैं। इस प्रकार, प्रत्येक का वर्ग को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।


प्रश्न 5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है। 

उत्तर : मन कोई धनात्मक पूर्णांक है और b = 3 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से a = 39 + r, 

जहाँ Q ≥ 0 और 0 ≤ r < 3 इसलिए, a 3q या 3q + 1 या 3q +2 जब a = 3q, a = (3q) = 27q = 9(30)=9m जहाँ एक पूर्णांक है और m = 3q जब a = 39 + 1, a = (30+1) a27q+27q2+9q+1 a9(3q³+3q²+q) + 1 a=9m + 1 जहाँ एक पूर्णांक है ओर m (3q²+ 3q² + a) जब a = 3q a = (3q a27q+54q²+ 369 +8 a=9(3q+6q²+4q) + 8 a=9m +8 जहाँ m एक पूर्णांक है और m (3q³+6q²+4q) इसलिए, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होता है।


Class 10th Maths 

पाठ 1 वास्तविक संख्याएं 

Exercise  : 1.2

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए: 

(i) 140 

(ii) 156 

(iii) 3825 

(iv) 5005 

(v) 7429 

उत्तर : (i) 140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2^2 × 5 × 7

(ii) 156  = 2x2x3x13 = 22×3×13 

(iii) 3825 = 3x3x5x5x17 = 32x52x17 

(iv) 5005 = 5×7×11×13 

(v) 7429 = 17×19×23 


प्रश्न 2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मो के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है। 

(i) 26 और 91 

(ii) 510 और 92 

(iii) 336 और 54 


उत्तर 2: (i) 26 और 91 

 26 = 2x13 

91 = 7x13 

HCF = 13 

LCM 2x7x13 = 182 

दो संख्याओं का गुणनफल = 26x91 (HCF × LCM) = 2366 

इस प्रकार, दो संख्याओं का 13x182= 2366 गुणनफल = HCFXLCM 

(ii) 510 और 92 

 510 = 2×3×5×17 ,  92 = 2x2x23 

HCF = 2 

LCM = 2×2×3×5×17×23 = 23460 

दो संख्याओं का गुणनफल = 510×92 HCF × LCM = 46920 

2 × 23460 = 46920 इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

(iii) 336 और 52

336 = 2×2×2×2×3×7 

54 = 2x3x3x3 

HCF = 2x3=6 , LCM = 2x3^3x7 = 3024

दो संख्याओं का गुणनफल HCF × LCM = 2x3x7 2x3^3 = 3024 

336×54 =  18144 , 6 × 3024 = 18144 

इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM


 प्रश्न 3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्लिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए: 

(i) 12, 15 और 21 

(ii) 17, 23 और 29 

(iii) 8, 9 और 25

उत्तर :- 

(i) 12, 15 और 21 

12 = 2x2x3 

 15 = 3 x 5 

21 = 3x7 

HCF = 3 

LCM = 2^2 x 3 x 5 x 7 = 420 


(ii) 17, 23 और 29 

17 = 1×17 

23 = 1 x 23 

29 = 1 x 29 

HCF=1 

LCM = 17×23×29 = 11339  

(iii) 8,9 और 25

8 = 2× 2× 2

9 = 3×3 

25 = 5 × 5 

HCF = 1

LCM = 8 × 9 × 25 = 1800

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